中学3年生数学

平方根の基礎・分母の有理化と計算のコツ

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平方根について解説していきます。中学3年生の数学は、乗法公式、素因数分解、因数分解と習ってきました。そして今度は聞き慣れない言葉である「平方根」です。

電卓についている√(ルート)の記号は見たことがあると思いますが、実際に使ったことはないでしょうし、何のためにあるのか、読み方さえわからなかったですよね。

いよいよ中3数学も難しくなってきますが、1つ1つ丁寧に覚えていけば決して出来ないことはありません。では今回も基礎からみっちりと練習していきましょう。

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平方根の基礎・考え方

テキストに書いてある平方根の説明では・・・ある数aを2乗するとbになる時、aはbの平方根と言う。こんな感じで書いてあると思います。

いつも言っていますが、文字で説明されてわからないなら、実際に数字を入れて考えてみて下さい。どんなにわかりにくくても、一発で意味が理解出来ることが多いです。

ある数aを仮に5としましょう。するとbは25になります。その上で全文を書きます。

5を2乗すると25になる時、5は25の平方根と言う

日本語的には非常に気持ち悪くなってしまいましたが、これで平方根の意味はわかりますね。(-5)を2乗しても25になるので、25の平方根は5と-5となり、±5と書くことが多く、プラスマイナス5と読みます。

根号√(ルート)とは

ちょっとパソコンの文字だと横棒が足りない感じですが、これは根号と呼び、ルートと読みます。

bの平方根について

  • √b2=b
  • ー√b2=-b
  • (√b)2=b
  • (-√b)2=b

このように説明されています。

上記例にあった、25の平方根を表す時、±√25(プラスマイナスルート25)ということになり、すなわち±√5の2乗となり、±5ということになります。

ちょっとわかりにくいですね、すみません。後に授業動画をご紹介しますので。

平方根という言葉に注意

テストを受ける時に特に注意して欲しいのですが、問題文に「平方根を求めなさい」とあった場合、必ず答えに±(プラスマイナス)をつけて下さい。ついてないとバツです。

しかし、逆に平方根を求めなさいという言葉がない限り、プラスマイナスをつけないで下さい。

この範囲に慣れていない子は、よくプラスマイナスをつけるべきかつけないべきかで悩み、その多くは「迷ったらつけちゃえ!」となる傾向にあります。

確かに悩んでしまうことは多いと思います。

なので悩まないためにも1つきちんとルールを知っておきましょう。

「平方根」という文字、言葉をキーワードにして、あればつける、なければつけないと決めておいて下さい。

※この後に二次方程式という範囲がきますが、二次方程式では「平方根」という文字がなくてもプラスマイナスをつけますのでごちゃ混ぜに考えないで下さい

√aとb√cの考え方

先に例を出します。

3√5=√45(3ルート5=ルート45)

左から右、右から左の両方を出来るようにしておく必要があります。

ちなみに左から右はすごく簡単です。

外を2乗して中とかけることで、全部がルートの中に入ります。

外にある3を2乗して、中にある5とかけるわけです。3×3×5で45となり、この45が中に入ります。なので√45となります。

右から左の場合は、中の数字を素因数分解をします。

45を素因数分解すると、3×3×5です。

今度はペアの数字を探し、ペアになっている数字は外に出します。その際、2つで1つになるというのがポイントです。3×3のペアを外に出すと、1つの3になるということです。

√3×3×5となるので、3が外に出て、3√5になるわけですね。

これは是非、音を出しても大丈夫な環境にして、授業動画を見て欲しいです。非常に簡単な考え方、コツを授業で配信していますので。

ルートの計算

ルートの計算は非常に簡単で、皆さんがすでに当たり前のようにしている文字式の計算そのまんまになります。本当にそのまんまなのです。

3a+2b-7a+3b=-4a+5bですね。

これは同類項だけを足し引きしたわけです。そして文字であるaとbはそのままでした。

文字式について少しでも怪しい人はこちらも参考にして下さい。

文字式の計算
中学1年生数学|文字式の計算がわからない子のための勉強法とコツ

私の自己紹介にあるように、私は文字式がさっぱりわかりませんでした。小学生の頃、算数は得意でしたし、嫌いでもなかったです。しかし、文字式の範囲は、算数から数学への過渡期。 ちょうど難しくなってくるので、 ...

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3√2+2√5-7√2+3√5

この問題はどうでしょうか。文字式と全く同じなので・・・ルートの中身が同じ数字である項を、同類項と考えましょう。そして、文字がそのままということは、ルートの中身がそのままということになります。

3√2と、-7√2を計算し、2√5と3√5を計算します。

-4√2+5√5が答えになります。

また、ルートのかけ算をする際は、外の数字は外同士、中の数字は中同士でかけます。

その際の注意と言いますか、ポイントとして、ルートの中身は、同じものをかけると外に飛び出すということです。これをきちんと覚えている人とそうでない人とでは大きな差が出ます。

絶対に飛び出すということを覚えておいて下さい。

√5×√5=5という考え方です。いったん√25と書いてから、5に直しているようでは、今後の計算で時間がかかり過ぎてしまうようになりますので、気付く練習をしましょう。

平方根の授業動画

根号はこの範囲を習うまで使ったことがないですから、馴染みのないものです。

嫌になってしまう人もいるかと思いますがめげずに頑張りましょう。

授業動画は無料で何度でも見ることが出来ます。

数学嫌い!平方根なんて大嫌いだ!という子にもわかってもらえるように説明していますので、是非わかるまで何度も見て練習してみて下さい。

この後は二次方程式になります。平方根がわかっていないと厳しい範囲です。

ここがわからないままだとどんどん数学が嫌いになってしまう危険があるので、頑張りましょう。

計算は全て最後に分母を有理化することがお約束になっていますので、忘れないで下さい。

その他の単元、範囲の動画はコチラから探して下さい。

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まとめ

平方根の範囲、基礎を解説してきました。百聞は一見に如かずということわざがあるように、やはり授業を見ていただく方がはるかにわかりやすいと思います。

わかると楽しい範囲なので頑張って練習して下さい。

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